Exponenten, rekenkunde, bevolking en energie (1)

Goeiedag, het is vandaag zondag 10 april 2011, ik ben Jozef Van Giel en dit is de 84ste aflevering van deze podcast. Deze aflevering kwam tot stand mede dankzij Rik Delaet. De muziek is van Niek Lucassen. Vandaag horen jullie het eerste deel van een reeks over hoe rekenkunde ons kan helpen begrijpen hoe onze toekomst eruit ziet. Deze tekst is een bewerkte versie van een tekst van Al Bartlett, waarvan je een link naar zowel een YouTube film als de transscripts in het Engels kan vinden op mijn website. Hier kan je de originele, door Rik Delaet ondertitelde film zien. 

Heel veel mensen onderschatten de gevolgen van bepaalde activiteiten en begrijpen niet waarom sommige problemen hoogdringend moeten opgelost worden terwijl we nog helemaal geen symptomen waarnemen. De reden is dat mensen de neiging hebben om altijd lineaire verbanden te zien, terwijl de meeste verschijnselen in de werkelijkheid niet lineair zijn.
Ik vind het verontrustend dat ik persoonlijk verschillende mensen ken die belangrijke maatschappelijke functies waarnemen, zoals politiek, dat is misschien normaal, maar zelfs in directiecomités van grote bedrijven, en die niet het minste begrip hebben van exponentiële problemen. De manier hoe ze nog altijd hun auto’s kiezen of hun huis bouwen, spreekt daar al boekdelen.
Onlangs vertelde iemand me zonder gêne dat hij niet echt bezig is met de milieuproblemen. Blijkbaar hebben sommige mensen het moeilijk om verbanden te zien. Om bijvoorbeeld te begrijpen dat de economie, waar ze zich wel mee bezig houden, onmogelijk kan bestaan als het milieu om zeep is.
Een voorbeeld van een lineair verschijnsel is het rijden met een wagen aan een constante snelheid. Als je met de wagen 2 uur gereden hebt, dan heb je bijvoorbeeld 120 kilometer afgelegd en heb je, stel, 14 liter benzine verbruikt. Als je zo nog een uur verder rijdt, dan zal je in totaal 180 kilometer afgelegd hebben, en 21 liter benzine verbruikt hebben. Iedereen die de regel van drie onder de knie heeft, kan dit soort vraagstukken oplossen. Bovendien zijn zulke oefeningen intuïtief.
Maar wat is het antwoord op de volgende vraag: Een beeldhouwer krijgt van een gemeente de opdracht om een kunstwerk van 2 meter hoog te bouwen in massief marmer, dat op het marktplein zal prijken. Om het ontwerp te laten evalueren maakt hij eerst een marmeren model van 20 cm hoog. Dit model weegt 3 kg. Hoeveel zal het echte kunstwerk wegen? Denk goed na, het is geen 30 kg, zoals je uit de regel van 3 zou afleiden.
Niet lineaire problemen begrijpen is nochtans zeer belangrijk om de werking van de wereld te begrijpen. In aflevering 73 van de podcast Kritisch Denken heb ik een tekst van de economist Tim Jackson voorgelezen die pleit voor een economie zonder groei. Dit is zeer revolutionair, want alle economieboeken pleiten voor een gestage groei. Maar wat zijn de gevolgen van zo’n groei, en hoe kan je dat gemakkelijk inzien?
Er zijn nog heel veel andere belangrijke verschijnselen die volgens dezelfde rekenkunde werken.
Weinig mensen begrijpen deze verschijnselen goed, nochtans is de rekenkunde achter gestage groei niet zo moeilijk. Ik hoop jullie te overtuigen dat de grootste tekortkoming van het menselijk ras is, ons onvermogen is om de exponentiële functie te begrijpen.

Maar wat is een exponentiële functie?

Het is een wiskundige functie die je zou gebruiken als het gaat om de grootte van iets dat gestaag groeide te beschrijven. Als je iets had dat met 5% per jaar groeide, dan zou je de exponentiële functie gebruiken om te laten zien hoe groot die groeiende hoeveelheid jaar na jaar was. En dus praten we over een situatie waarin de tijd nodig om een groeiende hoeveelheid met een vaste fractie te verhogen een constante is. 5% per jaar, die “5%” is een vaste fractie, “per jaar” is een vaste tijdsduur. Daarover willen we het dus hebben. Het is gewoon gestage groei.

Maar als er een vaste tijdsduur nodig is om 5% te groeien, dan volgt daaruit dat er een langere vaste tijdsduur nodig is om 100% groeien. Die langere tijd heet de verdubbelingtijd. Hoe we de verdubbelingtijd moeten berekenen is eigenlijk niet zo moeilijk.

Er is één getal dat je heel goed moet onthouden. Dat is: 70. Deel 70 door het groei percentage per tijdseenheid en je krijgt de verdubbelingtijd. In ons voorbeeld van 5% per jaar, deel je dus 70 door 5, en zo vind je dat de toenemende hoeveelheid elke 14 jaar in omvang zal verdubbelen.

Waar haal ik die 70 vandaan? Wel, dat is ongeveer 100 keer de natuurlijke logaritme van twee. Als je de tijd om te verdrievoudigen wilde, heb je de natuurlijke logaritme van drie nodig. Zolang de percentages kleiner zijn dan 10, is deze berekening zeer nauwkeurig. Het is allemaal heel logisch. Maar je hoeft je niet te herinneren waar het vandaan kwam, onthoud nu gewoon die 70.

We zouden iedereen ertoe moeten kunnen brengen om deze mentale berekening te maken telkens we een nieuwsbericht krijgen over procentuele groei. Bijvoorbeeld, als je in een reportage zou zien dat dingen met 7% per jaar groeiden gedurende de afgelopen jaren, dan zou je niet onmiddellijk onder de indruk zijn. Maar als je een krantenkop ziet die zegt dat de criminaliteit in tien jaar is verdubbeld, dan zeg je: “Amaai! Indrukwekkend! Wat is er aan de hand?”

Goed, hoe zit dat nu? We hadden het over 7% groei per jaar: deel nu die 70 door 7 en je bekomt een verdubbelingtijd van tien jaar. Als je een krantenkop wil schrijven die de aandacht trekt, moet je dus nooit schrijven “Criminaliteit Groeit Met 7% Per Jaar,” niemand zou weten wat dat betekent. Weet je nu wat 7% betekent?

Een ander voorbeeld, uit Colorado. De kosten van een liftticket om een hele dag te skiën in Vail steeg met ongeveer 7% per jaar sinds Vail opende in 1963.

Op dat moment betaalde je $5 voor een dagticket voor de skilift. Wat is de verdubbelingtijd voor een groei van 7%? Tien jaar. Wat kostte dat tien jaar later in 1973? $10. Nog eens tien jaar later in 1983? $20 Tien jaar later in 1993? $40 En in 2003, en wat kunnen we verwachten? $80

Dat betekent 7%. De meeste mensen hebben daar geen flauw idee van. En hoe gaat het nu in Vail? Ze zitten vrij goed op schema.

Laten we nu eens meer algemeen kijken naar iets dat gestaag groeit.

Na een verdubbelingtijd is de groeiende hoeveelheid tot twee keer zijn oorspronkelijke grootte aangegroeid. Na twee verdubbelingen, tot vier keer de oorspronkelijke grootte. Dan gaat het zo door met 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, na tien verdubbelingen is het duizend keer groter dan toen het begon. Je kunt dat zien als je probeert om een grafiek te tekenen op gewoon grafiekpapier. De grafiek gaat dwars door het plafond!

Ik ga jullie nu illustreren hoe je tot een enorme hoeveelheid komt met slechts een bescheiden aantal verdubbelingen.

Volgens de legende werd het schaakspel uitgevonden door een wiskundige in dienst van een koning. De koning was erg tevreden en vroeg aan de uitvinder waarmee hij hem kon belonen. De wiskundige antwoordde: “Mijn behoeften zijn erg bescheiden. Neem mijn schaakbord en plaats één graankorrel op het eerste vak. Op het volgende vak verdubbel je dat tot twee. Op het volgende vak weer verdubbelen tot vier graankorrels. Gewoon blijven verdubbelen tot je alle vakken op die manier hebt bezocht. Dat zou een adequate betaling voor me zijn.” De koning dacht natuurlijk: “Dwaze man. Ik was klaar om hem een echte beloning te geven en alles wat hij vraagt zijn enkele tarwekorrels”.
Schaakbord tonen

Maar hoeveel graan zou de man gekregen moeten hebben? We weten dat er acht korrels op het vierde veld komen te liggen. Ik kan dit aantal, acht, vinden door een vermenigvuldiging van drie 2’s. Het is 2x2x2, dat is een 2 minder dan het nummer van het vlak. Nu blijf je zo doorgaan. Dus op het laatste veld zou ik het aantal korrels vinden door het met elkaar vermenigvuldigen van 63 tweeën.

Laten we nu eens kijken naar de manier waarop de totalen zich opbouwen. Wanneer we één korrel op het eerste vak leggen is het totaal op het bord één. We voegen twee korrels toe voor het tweede vak wat een totaal van drie geeft. Dan vier korrels, nu wordt het totaal zeven. Zeven is één korrel minder dan acht, het is één korrel minder dan drie tweeën met elkaar vermenigvuldigd. Vijftien is één korrel minder dan vier tweeën met elkaar vermenigvuldigd. Dat blijft zo doorgaan, dus als we klaar zijn is het totaal aantal korrels één korrel minder dan het aantal dat ik krijg door 64 tweeën met elkaar te vermenigvuldigen. Hoeveel tarwe is dat nu?

Zou dat hier in de kamer een mooie hoop zijn? Zou dat het gebouw vullen? Zou het Antwerpen met een laag van twee meter bedekken? Over hoeveel tarwe hebben we het eigenlijk?

Het antwoord is, dat het ongeveer 400 keer de wereldwijde tarweoogst van 1990 is. Dat zou meer tarwe zijn dan wat mensen ooit geoogst hebben in de hele geschiedenis van de aarde. Je vraagt je af hoe je aan zo’n grote hoeveelheid komt? En het antwoord is eenvoudig. We zijn net begonnen met één korrel, maar we laten het aantal gestaag groeien tot het slechts 63 keer werd verdubbeld .

Nu is er nog iets heel belangrijk waar je aan moet denken: de groei in één verdubbelingtijd is groter dan de totale voorgaande groei! Wanneer ik bijvoorbeeld acht korrels op het 4de vlak leg, zijn dat er acht meer dan het totaal van de zeven die er al lagen. Ik heb 32 korrels op het 6de vlak. Die 32 is groter dan het totaal van 31 die er al liggen. Elke keer dat de groeiende hoeveelheid verdubbelt komt er meer bij dan alles wat er al lag van alle voorgaande groei samen!

Kunnen we deze inzichten nu gebruiken om de energiecrisis beter te begrijpen?
In een krantenkop van 1975 staat: “Kan de elektriciteit in Amerika opraken?” Amerika is afhankelijk van elektriciteit. De behoefte aan elektriciteit verdubbelt elke 10 tot 12 jaar. Dat is een goede weerspiegeling van een zeer lange geschiedenis van gestage groei van de elektrische industrie, een groei aan een tempo van ongeveer 7% per jaar, geeft je elke 10 jaar een verdubbeling.

Met die voorgeschiedenis van gestage groei, verwachten ze dat de groei voor altijd zou doorgaan. Gelukkig is ze gestopt, niet omdat plots iemand de rekenkunde snapte, maar om andere redenen. Laten we ons nu eens afvragen: “Wat als?” Stel dat de groei was doorgegaan? Dan zouden we hier hetzelfde zien als met het schaakbord. Gedurende de tien jaar na de verschijning van deze krantenkop, in dat decennium, zou de hoeveelheid opgebruikte elektrische energie groter zijn geweest dan het totaal van alle elektrische energie die ooit geconsumeerd was in de gehele voorafgaande geschiedenis van de gestage groei van de industrie in dit land.

Had je ooit gedacht dat iets dat zo volledig acceptabel is als een groei van 7% per jaar zo’n ongelooflijk gevolg kon geven? Dat je in slechts tien jaar tijd meer dan het totaal van alles, wat gebruikt was tijdens de hele voorafgaande groei, zou gebruiken?

Het is precies daarnaar dat president Carter verwees in zijn toespraak over energie. Een van zijn uitspraken was: “In elk van die decennia (jaren ‘50 en ‘60) werd meer olie verbruikt dan in de voorgaande geschiedenis van de mensheid.” Op zich is dat een verbluffende verklaring.

Nu begrijp je vanwaar dat komt. De president vertelde eenvoudigweg het gevolg van de rekenkunde van 7% groei per jaar van het olieverbruik in de wereld. En dat klopte tot in de jaren 1970!

Er is nog een mooi gevolg van deze rekenkunde. Als je een tijdsperiode van 70 jaar neemt – en er rekening mee houdt dat dat ongeveer overeen komt met een mensenleven – dan is uit eender welk procent van gestage groei, voortgezet gedurende 70 jaar, heel gemakkelijk te berekenen met welke factor de hoeveelheid zal toenemen. Bijvoorbeeld voor een stijging van 4% per jaar gedurende 70 jaar, kun je de factor vinden door 4 tweeën met elkaar te vermenigvuldigen, het is dus een factor 16. Met andere woorden: als je gedurende 70 jaar een stijging hebt van 4%, wordt de hoeveelheid 2x2x2x2 = 16 maal groter.

Politici vinden dat er een bevolkingsgroei nodig is om de vergrijzing van de bevolking tegen te gaan. Hoeveel groei vinden zij dat er zou moeten zijn. De cijfers variëren, maar sommige burgemeesters zouden graag een groei van 5 procent in hun gemeente willen zien.
Als we zo’n groei gedurende een mensenleven, en dat is toch niet zo lang, zouden aanhouden, dan zou in die periode de bevolking dus 32 keer groter worden! Elke kleine gemeente zou zo in een periode van één mensenleven een metropool worden.

Een interessante manier om gestage groei te bestuderen is door grafieken te tekenen op semilogaritmisch papier. Het is zo gedrukt dat gelijke afstanden op de verticale schaal elk een toename met een factor 10 vertegenwoordigen. Zo ga je van duizend naar tienduizend naar honderdduizend. Het handige aan dit papier is dat gestage groei wordt voorgesteld door een rechte lijn.

In de zomer van 1986, meldt het nieuws dat de wereldbevolking de vijf miljard mensen had bereikt, groeiende aan 1,7% per jaar.

Je zou kunnen reageren dat 1,7% heel weinig is. Er kan toch nooit iets ergs gebeuren met een groei van slechts 1,7% per jaar.” Maar bereken de verdubbelingtijd en je vindt slechts 41 jaar. Dat was in 1986; meer recent in 1999, lezen we dat de wereldbevolking van vijf miljard gegroeid is tot zes miljard.

Het goede nieuws is dat de groei daalde van 1,7% tot 1,3% per jaar. Het slechte nieuws is dat ondanks de daling van de groei, de wereldbevolking vandaag met ongeveer 75 miljoen mensen extra per jaar groeit.

Als we het op deze huidige bescheiden 1,3% per jaar zouden kunnen houden, dan zou de wereldbevolking in slechts 780 jaar groeien tot een dichtheid van één persoon per vierkante meter droog landoppervlak. En de massa aan mensen zou gelijk worden aan de massa van de aarde in slechts 2400 jaar. We kunnen daar nu mee lachen omdat we weten dat het niet kan gebeuren. Dit is het onderwerp van een leuke cartoon, met allemaal mensen in hun hokje. Het onderschrift zegt: “Neem me niet kwalijk, meneer, maar ik ben bereid tot een nogal aantrekkelijk aanbod voor uw vierkante meter.”

Er zit een zeer diepgaande les in die cartoon. De les is dat de bevolkingsaangroei ooit zal stoppen. We kunnen erover debatteren of we een nulgroei van de bevolking wel of niet leuk vinden, maar het zal hoe dan ook gebeuren. Of we erover debatteren of niet, of we het willen of niet, het is absoluut zeker. Mensen zouden nooit zo dicht op elkaar kunnen leven op het droge landoppervlak van de aarde. Daarom zullen de huidige hoge geboortecijfers dalen, en de lage sterftecijfers van vandaag zullen stijgen tot ze precies gelijk zullen zijn. Dat zal zeker gebeuren op korte tijd in vergelijking met die 780 jaar. En misschien vraag je je dan af welke opties we ter beschikking hebben om het probleem aan te pakken.

Je kan een lijstje maken van dingen die we zouden moeten aanmoedigen als we willen dat de snelheid van de groei van de bevolking zou verhogen en dus het probleem nog erger zou maken. Wat schrijf je dan zoal in zo’n lijst?

Alles in die lijst is zo heilig als het moederschap. Dat is immigratie, geneeskunde, volksgezondheid, sanitaire voorzieningen. Allemaal gewijd aan de humane doelstellingen voor het verlagen van het sterftecijfer en dat is heel belangrijk voor mij, als het mijn dood is die ze uitstellen. Maar dan moet ik me realiseren dat iets, dat het sterftecijfer verlaagt, het bevolkingsprobleem alleen maar erger maakt.

In dat lijstje staat vrede, recht en orde; wetenschappelijke landbouw heeft het sterftecijfer als gevolg van hongersnood verlaagd maar maakt het bevolkingsprobleem alleen maar erger. Het is alom bekend dat de snelheidsbegrenzingen op de weg duizenden levens heeft gered – maar ook dat maakt het bevolkingsprobleem alleen maar erger. Schone lucht maakt het nog erger.

Rechts van dat lijstje maken we een lijst van dingen die we zouden moeten aanmoedigen als we willen dat de snelheid van de groei van de bevolking lager wordt en het bevolkingsprobleem zouden helpen oplossen. Er staat onthouding, anticonceptie, abortus, kleine gezinnen, immigratie stoppen, ziekte, oorlog, moord, honger, ongelukken. Ook roken verhoogt duidelijk het sterftecijfer en helpt het probleem oplossen.

Vergeet onze conclusie uit de cartoon van één persoon per vierkante meter niet; we hebben vastgesteld dat de bevolkingsgroei ooit gaat stoppen. We kunnen dat besluit ook anders formuleren door te zeggen dat het voor de hand ligt dat de natuur zelf een keuze gaat maken uit de rechtse lijst en we dus niets hoeven te doen, behalve bereid zijn om te ondergaan wat de natuur uit die rechterlijst kiest. Of we kunnen het heft in eigen handen nemen en zelf onze keuze maken uit die rechterlijst. We moeten iets in die lijst zoeken waarvoor we campagne kunnen voeren. Wie is er te vinden voor het bevorderen van ziektes?

We kunnen ook kiezen voor een ongelooflijke oorlog. Wil je meer moorden, meer honger of meer ongelukken? Wel, hier zien we het menselijke dilemma – alles wat we beschouwen als iets goeds maakt het bevolkingsprobleem nog erger, alles wat we beschouwen als slecht helpt bij het oplossen van het probleem. En dat is een dilemma om U tegen te zeggen.

Een punt dat we nog in geen van beide lijsten hebben geplaatst is onderwijs: gaat dat naar de linker- of de rechterkolom? Totnogtoe moet ik voor dit land zeggen dat het in de linkerkolom thuishoort – er is heel weinig aan gedaan om de onwetendheid over dit probleem te verminderen.

Hier kan je verder deel 2 en deel 3 lezen of beluisteren.

Blijkbaar begrijpt Mark De Vos, ondanks zijn diploma in de rechten, bepaalde basisbegrippen uit de rekenkunde niet.

Hier kan je verder deel 2 en deel 3 lezen of beluisteren.

Wikipedia is een zeer goede bron voor informatie. Doordat veel mensen erop werken, worden fouten snel hersteld. Maar als de groep van mensen die het beheren te klein wordt, zoals dat het geval is met de Nederlandse versie, dan krijgen groepen met nogal eigenaardige ideeën vrij spel. Dat is wat er nu aan het gebeuren is. Enkele woorden, zoals “Kwakzalver” moesten er al aan geloven en er werd door een aantal wikipedianen beslist om dat woord te schrappen. Nu moet ook het woord “Lourdes effect” eraan geloven.
Als we nu met genoeg mensen tegen dit soort beslissingen protesteren, dan kunnen we het tij nog keren.
Op de notitiepagina van deze aflevering zullen jullie een link vinden waarin je kan helpen protest aantekenen.

Het citaat van vandaag komt van Johan Braeckman. Johan Braeckman is wetenschapsfilosoof aan de universiteit van Gent. Onlangs publiceerde hij een hoorcolege over kritisch denken. Johan Braeckman zei:

Beweren dat kinderen leren Kritisch Denken ook een vorm van indoctrinatie is, komt op hetzelfde neer als beweren dat kaalheid ook een kapsel is.